Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且过点B（0，1）．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点A是椭圆的右顶点，点在以AB为直径的圆上，延长PB交椭圆E于点Q，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由椭圆的离心率和b＝1，结合基本量的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由A（2，0），又B（0，1），求得圆方程和设PQ的参数方程为（t为参数，α为锐角），分别代入圆方程和椭圆方程，可得|BP|，|BQ|，再由换元法和判别式法，解不等式可得最大值．

（Ⅰ）椭圆的离心率为，且过点B（0，1），可得b=1，，，解得a=2，，则椭圆E的方程为；

（Ⅱ）可得A（2，0），又B（0，1），可得以AB为直径的圆方程为，

设PQ的参数方程为（为参数，为锐角），

代入圆方程可得，

可得，

将直线的参数方程代入椭圆方程可得：

，

可得，

则，

设，设上式为，

即有，

，即为，

解得，

则的最大值为．