Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-(1+a)x2+4ax+24a（a为实常数，且a＞1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求2a+

1

a

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调性；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）＞0恒成立，即当x≥0时，f（x）_min＞0恒成立，由此可求a的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1＜a＜6．作差，可知g（a）在（1，6）上是增函数，从而可求2a+

1

a

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）．
因为a＞1，所以2a＞2．
由f'（x）＞0，得x＜2，或x＞2a；由f'（x）＜0，得2＜x＜2a．
所以f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上是增函数；在[2，2a]上是减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．
∴

a＞1 f(2a)＞0 f(0)＞0

，即

a＞1 - 4 3 a3+4a2+24a＞0 24a＞0

，∴1＜a＜6．
故a的取值范围是（1，6）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1＜a＜6．
令g(a)=2a+

1

a

，a∈(1，6)，设a₁，a₂∈（1，6），且a₁＜a₂则g(a1)-g(a2)=(2a1+

1

a1

)-(2a2+

1

a2

)=2(a1-a2)+(

1

a1

-

1

a2

)
=(a1-a2)(2-

1

a1a2

)=

(a1-a2)(2a1a2-1)

a1a2

．
∵a₁，a₂∈（1，6），且a₁＜a₂，
∴a₁-a₂＜0，a₁a₂＞0，2a₁a₂-1＞0．
∴g（a₁）-g（a₂）＜0，即g（a₁）＜g（a₂）．
∴g（a）在（1，6）上是增函数．
又因g(1)=3，g(6)=

73

6

，所以2a+

1

a

的取值范围是(3，

73

6

)．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．