Question

已知函数f（x）=

ax-6

x2+b

的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为x+2y+5=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）由函数f（x）的图象在点M（-1，f（-1））处的切线的方程为x+2y+5=0，
得-1+2f（-1）+5=0，即f（-1）=-2，而根据切线的斜率为-

1

2

得到f′（-1）=-

1

2

，
∵f′（x）=

a(x2+b)-2x(ax-6)

(x2+b)2

，
利用f（-1）=-2和f′（-1）=-

1

2

联立得

-a-6 1+b =-2 a(1+b)+2(-a-6) (1+b)2 =- 1 2

∴解得

a=2 b=3

，把a和b的值代入可得f(x)=

2x-6

x2+3

；
（II）f′（x）=

-2x2+12x+6

(x2+3)2

，由f′（x）＞0得到3-2

3

＜x＜3+2

3

；
由f'（x）＜0得到，x＜3-2

3

或x＞3+2

3

所以函数f（x）在（-∞，3-2

3

），（3+2

3

，+∞）上单调递减，在（3-2

3

，3+2

3

）上单调递增．