Question

某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB⊥BC，OA//BC，且AB=BC=2AO=4，曲线段OC是以点0为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积．

Answer 1

解：以O为原点，OA所在直线为轴建立直角坐标系(如图)，依题意可设抛物线的方程为

  ．且C(2，4)，

∴2²＝24 ，∴

  故曲线段OC的方程为(0≤≤2)

  设P()(0≤<2)是曲线段OC上的任一点，

则PQ＝2＋，PN=4-

∴工业区面积S＝PQ?PN＝ 

∴S’＝-，令S’＝O，得：

∵∴

当∈[)时，S’>0，S是的增函数；

当∈()时，S’<0，S是的减函数．

∴时，S取到最大值，此时PQ=，PN==,

S=．

答：把工业园区规划成长为，宽为的矩形时工业园区的面积最大，最大面积是．