Question

【题目】如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面．已知是 的中点，．

（1）求证：平面平面；

（2）求证：A1C∥平面；

（3）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）通过证明AD⊥平面BB1C1C，得出平面AB1D⊥平面BB1C1C；

（2）连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE，易证 DE∥A1C，故而A1C∥平面AB1D；

（3）根据 求出棱锥的体积

（1）证明：由已知为正三角形，且D是BC的中点，所以．

因为侧棱底面，，所以底面．

又因为底面，所以.而,所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）证明：连接，设，连接．

由已知得，四边形为正方形，则为的中点.

因为是的中点，所以．

又因为平面AB1D，平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．

（3）由（2）可知A1C∥平面AB1D．，所以与到平面AB1D的距离相等，

所以．

由题设及，得，且．

所以 ，

所以三棱锥的体积为．