Question

已知圆O：x²+y²=9，过圆外一点P作圆的切线PA，PB（A，B为切点），当点P在直线2x-y+10=0上运动时，则四边形PAOB的面积的最小值为

3

11

．

Answer 1

分析：四边形PAOB为2个对称的直角三角形构成，由OA与OB为圆的半径，其值固定不变，得到当PO最小值，四边形PAOB的面积最小，即圆心到直线的距离最小，利用点到直线的距离公式求出PO的长，利用勾股定理求出此时AP的长，利用三角形的面积公式求出两直角三角形的面积，即为四边形PAOB面积的最小值．

解答：解：由圆x²+y²=9，得到圆心O坐标为（0，0），半径r=3，
又直线2x-y+10=0，
∴|PO|_min=

10

5

=2

5

，又|OA|=3，
∴在Rt△AOP中，利用勾股定理得：|AP|=

11

，
则四边形PAOB面积的最小值S=2×

1

2

×|OA|×|AP|=3

11

．
故答案为：3

11

点评：此题考查了直线与圆方程的应用，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，勾股定理，以及三角形面积的求法，其中根据题意得到|PO|的最小时，Rt△APO面积最小是解本题的关键．