Question

已知f（x）是定义在[-e，e]上的奇函数，当x∈（0，e）时，f（x）=e^x+lnx，其中e是自然对数的底数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的图象在点P（-1，f（-1））处的切线方程．

Answer 1

分析：（1）先设x∈[-e，0），据已知条件求出f（-x），在利用奇函数，求出f（x）在[-e，0）上的解析式，同时可求出所求；
（2）先求出切点坐标，然后求出该点处的导数即为切线的斜率，最后利用点斜式表示出直线方程即可．

解答：解：（1）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]
∴f（x）=-f（-x）=-[e^-x+ln（-x）]
∵f（x）是定义在[-e，e]上的奇函数
∴f（0）=0
∴f（x）=

-e-x+ln(-x)   ，x∈[-e，0) 0                ，x=0 ex+lnx        ，x∈(0，e]

（2）f（-1）=-e，故P（-1，-e），
当x∈[-e，0），时f′（x）=ex-

1

x

，f′（-1）=e+1
故过点P（-1，-e）的切线方程为y+e=（e+1）（x+1），即y=（e+1）x+1．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数解析式，求函数在某范围内的解析式，一般先将自变量设在该范围内，再想法转化到已知范围上去，属于基础题．