Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx对任意x∈R均有f（x-4）=f（2-x）成立，且函数的图象过点A(1，

3

2

)．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x-t）≤x的解集为[4，m]，求实数t、m的值．

Answer 1

分析：（1）由x∈R均有f（x-4）=f（2-x）成立，且函数的图象过点A（1，

，3

2

）得到俩个方程，解出a、b即可
（2）由f（x-t）≤x的解集为[4，m]，得4、m为方程f（x-t）-x=0的俩个根，由根与系数之间的关系列出方程，解出t、m的值

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx对任意x∈R恒有f（x-4）=f（2-x）成立，且图象过点A(1，

3

2

)，
∴

a(x-4)2+b(x-4)=a(2-x)2+b(2-x) a+b= 3 2 .

（2分）

化简a（x-4）²+b（x-4）=a（2-x）²+b（2-x），
得（2b-4a）x+（12a-6b）=0．（3分）
此一元一次方程对x∈R都成立，于是，

2b-4a=0 12a-6b=0

，即b=2a．
进一步可得

a= 1 2 b=1

．（6分）∴所求函数解析式为f(x)=

1

2

x2+x．（7分）
（2）∵f（x-t）≤x的解集为[4，m]，∴

1

2

(x-t)2+x-t≤x，即x2-2tx+t2-2t≤0的解集是[4，m]，且m＞4.（9分）
∴4、m是方程x²-2tx+t²-2t=0的两根．（10分）
于是，

4+m=2t 4m=t2-2t

，解此方程组，
得

m=12 t=8

或

m=0 t=2

(舍去)．（13分）
∴

m=12 t=8

．（14分）

点评：本题考查待定系数法求函数解析式以及根与系数之间的关系的应用，属简单题