Question

设椭圆E

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆E上一点，AF₁⊥F₁F₂，原点到直线AF₂的距离是

1

3

|OF1|．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；
（Ⅱ）若△AF₁F₂的面积是e，求椭圆E的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若直线l：y=x+m与椭圆E交于B、C两点，问：是否存在实数m使∠BF₂C为钝角？如果存在，求出m的范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），由AF₁⊥F₁F₂，设A（-c，y），（y＞0），由点A在椭圆上，知y=

b2

a

，从而得A(-c，

b2

a

)，直线AF₂的方程为y=-

b2

2ac

(x-c)，由此能求出椭圆E的离心率e．
（Ⅱ）由题设

1

2

×2c×

b2

a

=

2

2

，从而能得到所求椭圆方程．
（Ⅲ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），将直线y=x+m代入

x2

2

+y2=1并化简得3x²+4mx+2m²-2=0，由韦达定理和根的判别式能够导出存在m∈(

-2- 7

3

，

-2+ 7

3

)满足条件．

解答：解：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），∵AF₁⊥F₁F₂，不妨设A（-c，y），（y＞0），
又∵点A在椭圆上，∴y=

b2

a

，从而得A(-c，

b2

a

)，直线AF₂的方程为y=-

b2

2ac

(x-c)，
整理可得b²x+2acy-b²c=0，由题设，原点O到直线AF₂的距离为

1

3

|OF1|，
即

c

3

=

b2c

b4+4a2c2

，将c²=a²-b²代入上式化简得a²=2b²，∴a²=2（a²-c²），

c2

a2

=

1

2

，e=

2

2

．
（Ⅱ）由题设

1

2

×2c×

b2

a

=

2

2

，∴b=1，c=1，a=

2

，所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅲ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），将直线y=x+m代入

x2

2

+y2=1并化简得3x²+4mx+2m²-2=0，由韦达定理知x1+x 2=-

4

3

m，x1x2=

2

3

(m2-1)，
且△=（4m）²-4×3×2（m²-1）＞0，∴|m|＜

3

，由题设∠BF₂C是钝角，
即

F2B

•

F2C

＜0．∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，∴2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m²+1＜0，
∴

4

3

(m2-1)-

4

3

m(m-1)+m2+1＜0，∴3m²+4m-1＜0，
解得

-2- 7

3

＜m＜

-2+ 7

3

，上式满足-

3

＜m＜

3

，
故存在m∈(

-2- 7

3

，

-2+ 7

3

)满足条件．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的求法，并判断实数m是否存在，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．