Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+ax-

5

3

a(a∈R)．
（1）若函数f（x）在x=3处的切线方程是y=4x+b，求a，b的值；
（2）在（1）条件下，求函数f（x）的极值；
（3）若函数f（x）的图象与x轴只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），根据切线方程y=4x+b得到切线的斜率为4，得到f′（3）=4，代入即可求出a的值，然后把a代入到f（x）确定其解析式，把x=3代入解析式中求出f（3）的值即可得到切点坐标，把切点坐标代入到切线方程中即可得到b的值；
（2）把（1）中a=-2代入到函数解析式中得到f（x），然后令f′（x）=0解出x的值，利用x的值讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的极值即可；
（3）求出f′（x），分①根的判别式小于等于0即可求出a的取值范围；②根的判别式大于0时，得到f′（x）=0的两个解设为x₁、x₂，且x₂＞x₁，根据韦达定理可知x2＞

1

2

，根据方程根的定义得到a的值，代入到f（x）中得到值大于0，列出关于x₂的不等式，求出解决得到x₂的范围，根据a=-x₂²+x₂即可得到a的取值范围；同理根据韦达定理得到x₁＜

1

2

，此时的f（x）小于0，解出x₁的取值范围即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）f（x）'=x²-x+a，由切线方程y=4x+b得到切线的斜率等于4则把x=3代入到f′（x）中得到f（3）'=4，
代入得9-3+a=4，解得a=-2，
则f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x+

10

3

，当x=3时，f(3)=9-

9

2

-6+

10

3

=

11

6

，
把f(3)=

11

6

代入y=4x+b，得到12+b=

11

6

，解得b=-

61

6

；
（2）把a=-2代入得到f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x+

10

3

由f'（x）=x²-x-2=0得：x₁=2，x₂=-1
当x＜-1时，f'（x）＞0；当-1＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞0；
∴f（x）极大值为f(-1)=

9

2

，f（x）极小值为f（2）=0；
（3）f'（x）=x²-x+a，
①由△=1-4a≤0可得：a≥

1

4

；
②当△＞0时，设f'（x）=0的根为x₁、x₂，且x₂＞x₁，由x₁+x₂=1得x2＞

1

2

∴由方程根的定义知，a=-x₂²+x₂，f(x)=

1

3

x23-

1

2

x22+x2(x2-x22)-

5

3

(x2-x22)=-

2

3

x23+

13

6

x22-

5

3

x2＞0
∴4x₂²-13x₂+10＜0可得

5

4

＜x2＜2，而a=x₂²-x₂得：-2＜a＜-

5

16

；同理f(x)=-

1

6

x1(4x12-13x1+10)＜0，
∴x₁（x₁-2）（4x₁-5）＞0，即0＜x1＜

5

4

或x₁＞2，由x₁+x₂=1，x2＞

1

2

得：0＜x1＜

1

2

，∴0＜a＜

1

4

；
综上，a的取值范围为(-2，-

5

16

)∪(0，+∞)．

点评：此题是一道中档题，要求学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，掌握函数在某点取得极值的条件，会利用导数求闭区间上函数的最值．以及灵活运用分类讨论的数学思想解决实际问题．