Question

已知向量

m

=(cosx，sinx)，

n

=(2

2

+sinx，2

2

-cosx)，函数f（x）=

m

•

n

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若x∈(-

3

2

π，-π)，且f（x）=1，求cos(x+

5

12

π)的值．

Answer 1

分析：（1）先由向量的数量积坐标表示得到函数的三角函数解析式，再将其化简得到f（x）=4sin(x+

π

4

)(x∈R)，最大值易得；
（2）x∈(-

3

2

π，-π)，且f（x）=1，解三角方程求出符合条件的x的三角函数值，再有余弦的和角公式求cos(x+

5

12

π)的值

解答：解：（1）因为f(x)=m•n=cosx(2

2

+sinx)+sinx(2

2

-cosx)=2

2

(sinx+cosx)=4sin(x+

π

4

)(x∈R)
∴f（x）的最大值是4．
（2）∵f（x）=1，∴sin(x+

π

4

)=

1

4

，
又x∈(-

3π

2

，-π)，即x+

π

4

∈(-

5π

4

，-

3π

4

)，
所以cos(x+

π

4

)=-

15

4

，
cos(x+

5

12

π)=cos[(x+

π

4

)+

π

6

]=cos(x+

π

4

)cos

π

6

-sin(x+

π

4

)sin

π

6

=-

15

4

3

2

-

1

4

×

1

2

=-

3 5 +1

8

．

点评：本题考查平面向量的综合题以及三角函数的恒等变换求值，解题的关键是熟练掌握向量的数量积公式及三角恒等变换公式，本题涉及到向量与三角恒等变换，综合性较强，变形灵活，主要考查了变形的能力及利用公式计算求值的能力