Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明PH⊥平面ABCD，以H为原点，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，利用向量的数量积为0，即可证得结论；
（2）假设在棱PA上存在一点E，不妨设=λ（0＜λ＜1），求得平面EBD的一个法向量、面ABD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
解答：（1）证明：取AB中点H，则由PA=PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．以H为原点，建立空间直角坐标系H-xyz（如图）．则…．．（2分）
∵，…．．（4分）
∴，
∴，即PD⊥AC．         …．．（6分）
（2）解：假设在棱PA上存在一点E，不妨设=λ（0＜λ＜1），
则点E的坐标为，…．．（8分）
∴
设是平面EBD的法向量，则，
∴
∴，
不妨取，则得到平面EBD的一个法向量．  …．．（10分）
又面ABD的法向量可以是=（0，0，），
要使二面角E-BD-A的大小等于45°，
则
可解得，即=
故在棱PA上存在点E，当时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°．…．．（12分）
点评：本题考查线线垂直，考查面面角，考查利用向量法解决立体几何的能力，属于中档题．