Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足Sn=n2+n(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=

2

(n+1)an

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若?n∈N^*，使T_n＜C成立，求实数C的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出；
（II）利用（I）和裂项求和即可得出T_n．
（III）若?n∈N^*，使T_n＜C成立?（T_n）_min＜C，求出即可．

解答：解：（I）当n=1时，a₁=S₁=1+n=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+n-1]=2n．当n=1时也成立．
∴an=2n(n∈N*)．
（II）∵bn=

2

(n+1)an

=

2

2n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（III）若?n∈N^*，使T_n＜C成立?（T_n）_min＜C，
∵n≥1，Tn=1-

1

n+1

≥1-

1

1+1

=

1

2

，即(Tn)min=

1

2

．
∴实数C的取值范围是(

1

2

，+∞)．

点评：熟练掌握an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，裂项求和、及其等价转化等是解题的关键．