Question

已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l被圆C截得弦AB，且以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：假设存在k＝1的直线l，使它被圆C截出弦AB，且以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB．设l的方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0．∵l与圆C交于两点，∴Δ＞0，即(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)＞0．∴b2＋6b－9＜0，即①．而x1＋x2＝－b－1，x1·x2＝，∴y1·y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝－b2－b＋b2＝．据OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，即b2＋3b－4＝0．解之，得b＝1或b＝－4，而b＝1或b＝－4均满足①． 　　∴存在直线l：y＝x＋1或y＝x－4使它被圆截得弦AB，且以AB为直径的圆过原点O．