题目内容

已知二次函数f（x）=ax2+bx，且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点”，若函数f（x）有且仅有一个不动点，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）+
k
x
+
1
2
x2在 （0，
6
3
]上是单调减函数，求实数k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．
（1）f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b为偶函数，
∴2a+b=0，∴b=-2a，
∴f（x）=ax2-2ax，（2分）
∵函数f（x）有且仅有一个不动点，
∴方程f（x）=x有且仅有一个解，
∴ax2-（2a+1）x=0有且仅有一个解，
∴2a+1=0，a=-
1
2
，
∴f（x）=-
1
2
x2+x（5分）
（2）g（x）=f（x）+
k
x
+
1
2
x2=x+
k
x
在（0，
6
3
]上是单调减函数，
当k≤0时，g（x）=x+
k
x
在（0，+∞）上是单调增函数，
∴不成立；（7分）
当k＞0时，g（x）=x+
k
x
在（0，
k
]上是单调减函数，
∴
6
3
≤
k
，
∴k≥
2
3
（10分）
（3）∵f（x）=-
1
2
x2+x=-
1
2
（x-1）2+
1
2
≤
1
2
，
∴kn≤
1
2
，
∴n≤
1
2k
≤
3
4
＜1，
∴f（x）在区间[m，n]上是单调增函数（11分）
∴
f(m)=km
f(n)=kn
，即
-
1
2
m2+m=km
-
1
2
n2+n=kn
，
方程-
1
2
x2+x=kx的两根为0，2-2k（12分）
当2-2k＞0，即
2
3
≤k＜1时，[m，n]=[0，2-2k]（13分）
当2-2k＜0，即k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]（14分）
当2-2k=0，即k=1时，[m，n]不存在（16分）
练习册系列答案
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已知二次函数f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
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（2013•广州一模）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
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