Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

n(n+1)

，数列{a_n}的前n项的和为S_n，若S_n≤

199

220

，则n的最大值是

9

．

Answer 1

分析：根据数列通项的特点可知利用裂项相消法求数列的和，a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

可求出数列{a_n}的前n项的和为S_n，然后根据S_n≤

199

220

可求出n的最大值．

解答：解：∵a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴数列{a_n}的前n项的和为S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

，
∵S_n≤

199

220

，
∴1-

1

n+1

≤

199

220

，解得n≤

199

21

，
∴n的最大值是9．
故答案为：9．

点评：本题主要考查了利用裂项相消法求数列的和，解题的关键是a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，注意哪些项保留，哪些项消去，属于基础题．