Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

.

sin A 2 cos A 2 sin c 2 -sin B 2 cos B 2 0 -sec B 2 0 1

.

=

2

，
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的周长为16，求此三角形面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由二阶行列式的定义和三角函数的和角公式得sin(

A+B

2

)+sin

C

2

=

2

，再把

A+B

2

=

π-C

2

代入即可得到sin(

C

2

+

π

4

)=1求得C=

π

2

，进而判断△ABC是直角三角形；
（2）由已知可知a+b+c=16且a²+b²=c²，可得：a+b+

a2+b2

=16结合基本不等式ab≤64(2-

2

)2从而求得面积有最大值．

解答：解：（1）由

.

sin A 2 cos A 2 sin c 2 -sin B 2 cos B 2 0 -sec B 2 0 1

.

=

2

可得：sin

A

2

cos

B

2

+cos

A

2

sin

B

2

+sin

C

2

=

2

---------------2分分
即sin(

A+B

2

)+sin

C

2

=

2

-------------------------------------------------------3分
∵A，B，C为△的内角，∴

A+B

2

=

π-C

2

即sin(

π-C

2

)+sin

C

2

=

2

∴cos

C

2

+sin

C

2

=

2

，可得：

2

sin(

C

2

+

π

4

)=

2

---------------------5分
即sin(

C

2

+

π

4

)=1，∵

C

2

+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)-------------------------------------6分
∴

C

2

+

π

4

=

π

2

即∠C=

π

2

，∴此三角形为直角三角形；--------------------8分
（2）由已知可知a+b+c=16且a²+b²=c²，可得：a+b+

a2+b2

=16-----9分
又∵a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

（∵a，b∈R⁺）--------------------------10分
即

ab

≤

16

2+ 2

=8(2-

2

)当且仅当a=b时等号成立-----------------------12分
此时ab≤64(2-

2

)2即面积有最大值为192-128

2

-------------------------14分

点评：本小题主要考查二阶行列式的定义、基本不等式、三角形的形状判断等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．