Question

已知函数f(x)=

log2x-1

log2x+1

，若f（x₁）+f（2x₂）=1，（其中x₁，x₂均大于2），则f（x₁x₂）的最小值为（　　）

• A、

  5- 5

  4

• B、

  4

  5

• C、

  2

  3

• D、

  3

  5

Answer 1

分析：由于f（x₁x₂）的结构不清，故需要先对所给的条件f（x₁）+f（2x₂）=1进行变形，进行探究，再由探究出的结果求f（x₁x₂）的最小值，为了研究的方便，f（x）=1-

2

log2x+1

f（a）+f（2b）=2-2（

1

log22a

+

1

log24b

）=1，所以能够推导出log₂2a+log₂4b≥8，所以log₂ab≥5，由此知f（ab）=1-

2

log2ab+1

≥

2

3

，故f（x₁x₂）的最小值为

2

3

解答：解：令x₁=a，x₂=b其中a、b均大于2，
∵函数f(x)=

log2x-1

log2x+1

，若f（a）+f（2b）=1，其中a＞2，b＞2，
又f（x）=1-

2

log2x+1

，
∴f（a）+f（2b）=2-2（

1

log22a

+

1

log24b

）=1．得

1

log22a

+

1

log24b

=

1

2

，
由（log₂2a+log₂4b）（

1

log22a

+

1

log24b

）≥4得log₂2a+log₂4b≥8，
∴log₂ab≥5，
而f（ab）=1-

2

log2ab+1

≥

2

3

故f（x₁x₂）的最小值为

2

3

故选C

点评：本题考查函数最值及其几何意义，解题的关键是理解题意，对题设中所给的条件进行探究，逐步寻求它们与f（x₁x₂）的关系，判断出最小值，本题为了研究的方便采取了给两个变量进行赋值的方法，运算变形时少写了符号简化了计算，本题变形灵活，技巧性高，题后应好好总结