题目内容

当p₁，p₂，…，p_n均为正数时，称 $数学公式$ 为p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”．已知数列{a_n}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设 $数学公式$ ，试判断并说明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（Ⅲ）已知 $数学公式$ ，记数列{b_n}的前n项和为S_n，试求 $数学公式$ 的值；
（Ⅳ）设函数 $数学公式$ ，是否存在最大的实数λ，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f（x）≤0恒成立？

解：（Ⅰ）由题得：a₁+a₂++a_n-1+a_n=n（2n+1） ①，
a₁+a₂++a_n-1=（n-1）（2n-1） ②，
两式相减，得a_n=4n-1（n≥2）．
又 $\text{[math]}$ ，解得a₁=3=4×1-1，
∴a_n=4n-1（n∈N⁺）．（4分）
（Ⅱ）∵c_n= $\text{[math]}$ ，c_n+1= $\text{[math]}$ ，
∴c_n+1-c_n= $\text{[math]}$ ＞0，即c_n+1＞c_n．（7分）
（Ⅲ）∵b_n=t^a_n=t^4n-1（t＞0），
∴S_n=b₁+b₂++b_n=t³+t⁷++t^4n-1，
当t=1时，S_n=n， $\text{[math]}$ ；（8分）
当t＞0且t≠1时，S_n= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（10分）
综上得， $\text{[math]}$ （11分）
（Ⅳ）由（Ⅱ）知数列{c_n}是单调递增数列，c₁=1是其的最小项，即c_n≥c₁=1．
假设存在最大实数，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f（x）=-x²+4x- $\text{[math]}$ ≤0恒成立，
则-x²+4x≤ $\text{[math]}$ （n∈N⁺）．
只需-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0．
解之得x≥2+ $\text{[math]}$ 或x≤2- $\text{[math]}$ ．
于是，可取λ=2- $\text{[math]}$ （14分）
分析：（Ⅰ）先利用条件求得a₁+a₂++a_n-1+a_n=n（2n+1）和a₁+a₂++a_n-1=（n-1）（2n-1），两式作差就可求出数列{a_n}的通项公式（注意检验n=1是否成立）；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）求得的数列{a_n}的通项公式代入即可求出c_n+1-c_n再利用函数的单调性就可判断出c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）求得的数列{a_n}的通项公式代入即可求出数列{b_n}的通项公式，再对等比数列{b_n}分公比等于1和不等于1两种情况分别求和即可找到 $\text{[math]}$ 的值；
（Ⅳ）由（Ⅱ）知数列{c_n}是单调递增数列，c₁=1是其最小项，所以f（x）≤0恒成立可以转化为-x²+4x≤c₁=1，再解不等式就可找到对应的最大的实数λ．
点评：本题是对数列知识．函数知识以及恒成立问题的综合考查．在利用等比数列的求和公式时，一定要看公比的取值，在不确定的情况下，要分清况讨论．