Question

已知函数f(x)=ln(a+x)-(a≠0)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)若f(x)有极小值，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若x₁x₂＞0，求证ln.

Answer 1

解：(1)根据题意，得

∴f(x)的定义域为{x|x＞-a}

(2)∵f′(x)=令f′(x)=0得x=0，

∴f(x)只有在x=0时有极小值，

若-a＞0，即a＜0，则x＞-a＞0，这时在定义域内恒有f′(x)＞0，f(x)无极小值.

若-a＜0，即a＞0，当-a＜x＜0时，f′(x)＜0，

当x＞0时，f′(x)＞0，故x=0时，f(x)有极小值.

因此f(x)有极小值时，a＞0，

(3)在x=0时，f(x)取得极小值，而且是最小值，于是f(x)≥f(0)=lna，从而ln(a+x)-≥lna在x＞-a时恒成立，即ln 

令，则，

于是，在x₁·x₂＞0时成立.