Question

已知△ABC的周长为

2

+1，且sinB+sinC=

2

sinA．
（Ⅰ）求边BC的长；
（Ⅱ）若△ABC的面积为

1

6

sinA，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出三角形的三边长分别为a，b，c，根据已知的周长表示出关于a，b，c的关系式，记作②，利用正弦定理化简已知的等式，得到关于a，b，c的关系式，记作①，把①代入②即可求出a的值，进而BC的值；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积S，与已知的面积相等得到一个等式，化简可得bc的值，由（Ⅰ）中的①和a的值求出b+c的值，利用余弦定理表示出cosA，变形后把b+c，bc以及a的值代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，将sinA的值代入已知的面积S=

1

6

sinA中即可求出△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由sinB+sinC=

2

sinA及正弦定理得：b+c=

2

a①（3分）
又周长a+b+c=

2

+1②，
由①②联立解得：a=1，即BC=1；（6分）
（Ⅱ）△ABC的面积S=

1

2

bcsinA，即

1

2

bcsinA=

1

6

sinA，所以bc=

1

3

，（8分）
又结合（Ⅰ）知，b+c=

2

+1-a=

2

，
∴在△ABC中由余弦定理得：
cosA=

b2+c2-a2

2bc

（10分）
=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

( 2 )2-2× 1 3 -1

2× 1 3

=

1

2

，（12分）
又△ABC的内角A∈（0，π），所以A=

π

3

，（13分）
所以△ABC的面积S=

1

6

sinA=

1

6

×sin

π

3

=

3

12

．（15分）

点评：此题综合考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积公式．本题的关键是第（Ⅱ）中灵活变换cosA的表达式，注意整体代入方法的运用．同时要求学生善于发现两问之间的联系，从而建立已知与未知之间的关系．