Question

若a₁≤a₂≤…≤a_n，而b₁≥b₂≥…≥b_n或a₁≥a₂≥…≥a_n而b₁≤b₂≤…≤b_n，证明：

a1b1+a2b2+…+anbn

n

≤（

a1+a2+…+an

n

）•（

b1+b2+…+bn

n

）．当且仅当a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n时等号成立．

Answer 1

分析：利用排序原理，n个式子相加，可得得：n（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）≤（a₁+a₂+…+a_n）（b₁+b₂+…+b_n），两边除以n²，即可得到结论．

解答：证明　不妨设a₁≤a₂≤…≤a_n，b₁≥b₂≥…≥b_n．
则由排序原理得：
a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤a₁b₂+a₂b₃+…+a_nb₁
a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤a₁b₃+a₂b₄+…+a_n-1b₁+a_nb₂
…
a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤a₁b_n+a₂b₁+…+a_nb_n-1．
将上述n个式子相加，得：n（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）
≤（a₁+a₂+…+a_n）（b₁+b₂+…+b_n）
上式两边除以n²，得：

a1b1+a2b2+…+anbn

n

≤(

a1+a2+…+an

n

)(

b1+b2+…+bn

n

)
等号当且仅当a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n时成立．

点评：本题考查排序原理，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．