Question

设函数f（x）=x²+ax+b，且方程f（x）=0在区间（0，1）和（1，2）上各有一解，则2a-b的取值范围用区间表示为

（-8，-2）

．

Answer 1

分析：由已知中方程x²+ax+b-2=0在区间（0，1）和（1，2）上各有一个根，根据方程的根与对应零点之间的关系，结合二次函数图象的性质，易得到f（1）＜0，f（2）＞0，f（0）＞0．画出约束条件表示的可行域，即可求解2a-b的范围．

解答：解：∵函数f（x）=x²+ax+b，且方程f（x）=0在区间（0，1）和（1，2）上各有一解，
则函数f（x）=x²+ax+b在区间（0，1）和（1，2）上各有一个零点，
又∵f（x）=x²+ax+b是开口向上的抛物线，∴f（1）＜0，f（2）＞0，f（0）＞0．
∴f（1）=a+b+1＜0…①，
f（2）=4+2a+b＞0…②，
f（0）=b＞0…③
画出约束条件①②③表示的可行域如图：则2a-b=z，
经过可行域的A点即

a+b+1=0 4+2a+b=0

，解得A（-2，3）时取得最小值为：-8，
经过B

a+b+1=0 b=0

即B（-1，0），2a-b取得最大值-2，
2a-b的取值范围用区间表示为（-8，-2）
故答案为：（-8，-2）．

点评：本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系，其中根据方程的根与对应零点之间的关系，线性规划的应用是解答本题的关键．