Question

已知函数f（x）=2sin（π-x）•sin（

π

2

+x）．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）运用诱导公式对函数解析式进行化简整理，进而根据正弦函数的饿性质求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）根据（1）中单调性区间，可知f（x）在[-

π

12

，

π

4

]上单调增，在[

π

4

，

π

2

]单调减，进而分别求得在相应区间上最大值和最小值．

解答：解：（1）f（x）=2sin（π-x）•sin（

π

2

+x）=2sinx•cosx=sin2x，
∴T=π，单调递增区间为kπ-

π

2

≤2x≤kπ+

π

2

，即-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ
（2）由（1）知函数单调增区间为[-

π

4

+kπ，+kπ]，且x∈[-

π

12

，

π

2

]
当x∈[-

π

12

，

π

4

]函数单调增，最大值为1，最小值为-

1

2

当x∈[

π

4

，

π

2

]函数单调减，最大值为1，最小值为0
综合可知函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的最大值为1，最小值为-

1

2

．

点评：本题主要考查了三角函数的周期性，三角函数的单调性，诱导公式的运用等知识．