Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且2sinBsinC-cos（B-C）=

1

2

（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，设△ABC的周长为L，求L的最大值．

Answer 1

分析：（1）将2sinBsinC-cos（B-C）=

1

2

变形得到角A的函数值，因为A是三角形中的角，由值求角．
（2）利用正弦定理用角表示想边，建立周长关于角的函数，利用三角函数的有界性求最值

解答：解：（1）∵2sinBsinC-cos（B-C）=

1

2

∴2sinBsinC-cosBcosC-sinBsinC=

1

2

∴sinBsinC-cosBcosC=

1

2

∴-cos（B+C）=

1

2

∴cosA=

1

2

，故A=60⁰
（2）由正弦定理得

3

3 2

=

b

sinB

=

c

sinC

=2
所以b=2sinB，=2sinC，
故周长L=

3

+2sinB+2sinC=

3

+2（sinB+sinC）=

3

+4sin

B+C

2

cos

B-C

2

又A=60°，故

B+C

2

=60⁰，
∴L=

3

+4sin60°cos

B-C

2

=

3

+2

3

cos

B-C

2

≤3

3

当B=C=60°时等号成立．
故L的最大值为3

3

点评：考查三角恒等变换，知函数值求角，正弦定理进行边角转化，知识点较多，请读者细心体会知识之间的转换，结合．