Question

【题目】如图所示， 是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定建立面积为平分千米的三角形主题游戏乐园，并在区域建立水上餐厅.

已知， .

（1）设， ，用表示，并求的最小值；

（2）设（为锐角），当最小时，用表示区域的面积，并求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)S= ,8－.

【解析】试题分析：

(1)首先确定函数的解析式为结合均值不等式的结论可得的最小值是;

(2)结合题意和三角函数的性质可得S=，利用三角函数的性质可知的最小值是8－.

试题解析：

（1）由S△ACB＝AC·BC·sin∠ACB＝4得，BC＝，

在△ACB中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，

即y2＝x 2＋＋16，

所以y＝

y＝≥＝4，

当且仅当x2＝，即x＝4时取等号．

所以当x＝4时，y有最小值4．

（2）由（1）可知，AB＝4，AC＝BC＝4，所以∠BAC＝30°，

在△ACD中，由正弦定理，CD＝＝＝，

在△ACE中，由正弦定理，CE＝＝＝，

所以，S＝CD·CE·sin∠DCE＝＝．

因为θ为锐角，

所以当θ＝时，S有最小值8－4．