Question

已知函数f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（2）当函数f（x）在(

1

2

，2)单调时，求a的取值范围；
（3）求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件．

Answer 1

（1）a=3时，f′(x)=-2x+3-

1

x

=-

2x2-3x+1

x

=-

(2x-1)(x-1)

x

，
函数f（x）在区间(

1

2

，2)仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在[

1

2

，2]最大值是f（1）=2，
又f(2)-f(

1

2

)=(2-ln2)-(

5

4

+ln2)=

3

4

-2ln2＜0，故f(2)＜f(

1

2

)，
故函数在[

1

2

，2]上的最小值为f（2）=2-ln2．
（2）f′(x)=-2x+a-

1

x

，令g(x)=2x+

1

x

，则g′(x)=2-

1

x2

，
则函数在(

1

2

，

2

2

)递减，在(

2

2

，2)递增，由g(

1

2

)=3，g(2)=

9

2

，g(

2

2

)=2

2

，
故函数g（x）在(

1

2

，2)的值域为[2

2

，

9

2

)．
若f'（x）≤0在(

1

2

，2)恒成立，即a≤2x+

1

x

在(

1

2

，2)恒成立，只要a≤2

2

，
若要f'（x）≥0在在(

1

2

，2)恒成立，即a≥2x+

1

x

在(

1

2

，2)恒成立，
只要a≥

9

2

．即a的取值范围是(-∞，2

2

]∪[

9

4

，+∞)．
（3）若f（x）既有极大值又有极小值，则首先必须f'（x）=0有两个不同正根x₁，x₂，即2x²-ax+1=0有两个不同正根．
故a应满足

△＞0 a 2 ＞0

?

a2-8＞0 a＞0

?a＞2

2

，
∴当a＞2

2

时，f'（x）=0有两个不等的正根，不妨设x₁＜x₂，
由f'（x）=-

1

x

(2x2-ax+1)=-

2

x

（x-x₁）（x-x₂）知：
0＜x＜x₁时f'（x）＜0；x₁＜x＜x₂时f'（x）＞0；x＞x₂时f'（x）＜0，
∴当a＞2

2

时f（x）既有极大值f（x₂）又有极小值f（x₁）．
反之，当a＞2

2

时，2x²-ax+1=0有两个不相等的正根，
故函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件a＞2

2

．