题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n，数列{b_n}满足b₁= $数学公式$ ，b₂= $数学公式$ ，对任意n∈N^．都有 $数学公式$ =b_n•b_n+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，若对任意的n∈N^，不等式λnT_n+2b_nS_n＜2（λn+3b_n）恒成立，试求实数λ的取值范围．

解：（Ⅰ）∵na_n+1=2S_n，∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），两式相减得，na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n=，即 $\text{[math]}$ ，
∴a_n= $\text{[math]}$ =n（n≥2），
a₁=1满足上式，故数列{a_n}的通项公式a_n=n（n∈N^*）．
在数列{b_n}中，由 $\text{[math]}$ =b_n•b_n+2，b₁= $\text{[math]}$ ，b₂= $\text{[math]}$ ，知数列{b_n}是等比数列，首项、公比均为 $\text{[math]}$ ，
∴数列{b_n}的通项公式b_n= $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n= $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +…+n× $\text{[math]}$ ①
∴ $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +…+（n-1）× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ②
由①-②，得 $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，
∴T_n=2- $\text{[math]}$
∴不等式λnT_n+2b_nS_n＜2（λn+3b_n）即为λn（2- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ＜2（λn+ $\text{[math]}$ ），
即（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0恒成立．
设f（n）=（1-λ）n²+（1-2λ）n-6，
当λ=1时，f（n）=-n-6＜0成立，则λ=1满足条件；
当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；
当λ＞1时，由于 $\text{[math]}$ ＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，f（n）≤f（1）=-3λ-4＜0恒成立，则λ＞1满足条件．
综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．
分析：（Ⅰ）利用na_n+1=2S_n，再写一式，两式相减，再叠乘，即可求数列{a_n}的通项公式；在数列{b_n}中，由 $\text{[math]}$ =b_n•b_n+2，b₁= $\text{[math]}$ ，b₂= $\text{[math]}$ ，知数列{b_n}是等比数列，首项、公比均为 $\text{[math]}$ ，由此可得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求数列的和，再将不等式转化为（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0恒成立，构造函数，利用函数的性质，即可确定实数λ的取值范围．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，考查恒成立问题，确定数列的通项，正确求和是关键．