题目内容
如图所示，在菱形ABCD中，∠DAB = 60°，PA⊥底面ABCD，PA = AB = 2，E、F分别是AB与PD的中点.
(1) 求证：PC⊥BD；
(2) 求证：AF∥平面PEC；
(3) 求二面角P - EC - D的大小.
【答案】
解：(1) 证明：（1）连接AC，则AC⊥BD。
∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线PC在平面ABCD
上的射影，∴由三垂线定律得PC⊥BD
(2) 取PC中点K，连接FK 、EK，
则四边形AEKF是平行四边形，
∴ AF∥EK，又EK 
平面PEC，AF
平面PEC，
∴ AF∥平面PEC
(3) 延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM与H，
连结PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。
∴ ∠PHA为所求二面角P-EC-D的平面角。
∵ E为AB的中点，AE∥CD，∴AM=AD=2 ,
在△AME中，∠MAE=120°，
由余弦定理得EM2=AM2+AEAM·AEcos120°=7,
EM=, 又S△AME=AH·EM=AM·AE·sim120°,
∴AH = ，∴ tan∠PHA= = .
∴ 二面角P-EC-D的大小为arctan.
练习册系列答案
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如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且AB=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点．
