Question

已知定义在R上的奇函数f（x），在x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

，且f（-1）=f（1）．
（1）求f（x）在x∈[-1，1]上的解析式；
（2）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜

1

2

；
（3）若x∈（0，1），常数λ∈（2，

5

2

），解关于x的不等式f（x）＞

1

λ

．

Answer 1

（1）∵f（x）是R上的奇函数且x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

，
∴当x∈（-1，0）时，f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

，（1分）
又由于f（x）为奇函数，∴f（0）=-f（-0），∴f（0）=0，（2分）
又f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1），∴f（-1）=f（1）=0．（3分）
综上所述，当x∈[-1，1]时，f（x）=

- 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 2x 4x+1 ，x∈(0，1) 0，x∈{-1，1，0}

（4分）
（2）当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

=(2x+

1

2 x

)   -1，（5分）
2x+

1

2 x

≥2，当且仅当2x=

1

2 x

，即x=0取等号．（6分）
∵x∈（0，1），∴不能取等号，
∴f（x）＜

1

2

；（8分）
（3）λ∈（2，

5

2

），

1

λ

∈（

2

5

，

1

2

），f（x）＞

1

λ

即4^x-λ•2^x+1＜0，
设t=2^x∈（1，2），不等式变为t²-λt+1＜0，∵λ∈（2，

5

2

），∴△=λ²-4＞0，
∴

λ- λ 2-4

2

＜t＜

λ+ λ 2-4

2

．（10分）
而当λ∈（2，

5

2

）时，t＞0．
综上可知，不等式的解集是（0，log₂

λ+ λ 2-4

2

）．（13分）．