Question

已知数列{a_n}，满足an+1=

1 2 an an+1

 

n为偶数 n为奇数

，a4=

5

2

，若b_n=a_2n-1-1（b_n≠0）．
（1）求a₁； 
（2）求证：{b_n}是等比数列； 
（3）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_2n．

Answer 1

分析：（1）根据a4=

5

2

，an+1=

1 2 an an+1

 

n为偶数 n为奇数

，反过来推a₃，然后推a₂，再推出a₁的值；
（2）根据b_n=a_2n-1-1，以及an+1=

1 2 an an+1

 

n为偶数 n为奇数

，证明

bn

bn-1

是常数，从而可证明{b_n}是等比数列； 
（3）由（2）可求得a_2n-1的通项，从而可求出奇数项的和，然后根据奇数项和偶数项的关系，从而可求出S_2n．

解答：解：（1）∵a4=

5

2

，an+1=

1 2 an an+1

 

n为偶数 n为奇数

，
∴a₃=

5

2

-1=

3

2

，∴a₂=3，∴a₁=2；
（2）证明：∵b_n=a_2n-1-1，
∴

bn

bn-1

=

a2n-1-1

a2n-3-1

=

1 2 a2n-2-1

a2n-1-1-1

=

1

2

，
∴数列{b_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列；
（3）∵b_n=a_2n-1-1，
∴a_2n-1-1=（a₁-1）×(

1

2

)n-1即a_2n-1=(

1

2

)n-1+1，
∴a₁+a₃+…+a_2n-1=

1•(1- 1 2n )

1- 1 2

+n=2-

1

2n-1

+n，
又∵a₂=a₁+1，a₄=a₃+1，…a_2n=a_2n-1+1，
∴S_2n=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）+n=4-

1

2n-2

+3n．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及等比数列的判断和数列的求和，同时考查了分析问题的能力和转化的思想，运算求解的能力，属于中档题．