Question

已知二次函数f（x）=ax²+2x+c的值域是[0，+∞），那么

c

a2+1

+

a

c2+1

的最小值是（　　）

Answer 1

分析：利用二次函数的性质可得ac=1，且a和c都是正数，把要求的式子化为（a+c）-

2

(a+c)

，故当a+c最小时，（a+c）-

2

(a+c)

最小为1，由基本不等式求得a+c的最小值为2，由此求得

c

a2+1

+

a

c2+1

的最小值．

解答：解：：∵二次函数f（x）=ax²+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），
∴a＞0，△=4-4ac=0，
∴a＞0，c＞0，ac=1．
故

c

a2+1

+

a

c2+1

=

c

a(a+c)

+

a

c(a+c)

=

a2+c2

ac(a+c)

=

(a+c)2-2ac

(a+c)

=（a+c）-

2

(a+c)

，
故当a+c最小时，（a+c）-

2

(a+c)

最小．
而a+c≥2

ac

=2，故当a+c=2时，

c

a2+1

+

a

c2+1

=（a+c）-

2

(a+c)

最小为2-1=1，
故选A．

点评：本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．