题目内容
（2006•朝阳区二模）四棱锥P-ABCD中，侧面APD⊥底面ABCD，∠APD=∠BAD=90°，∠ADC=60°，E为AD上一点，AE=2，AP=6，AD=CD=8，AB=2| 3 |
（Ⅰ）求证AB⊥PE；
（Ⅱ）求证：CD∥平面PBE；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．
分析：（Ⅰ）要证证AB⊥PE，只要证明AB垂直于PE所在的平面即可，利用面面垂直的性质能够得到BA垂直于平面PAD，则问题得到证明；
（Ⅱ）要证CD∥平面PBE，只要证明CD平行于平面PBE内的一条直线即可，在直角三角形BAE中，通过解直角三角形求出∠BEA的大小，然后利用同位角相等直线平行得结论；
（Ⅲ）可以直接找二面角的平面角，根据侧面APD⊥底面ABCD，过C作AD的垂线，再过垂足作PD的垂线，连接垂足和C，则二面角的平面角得到，然后通过解直角三角形求解，也可以利用空间直角坐标系解决．
（Ⅱ）要证CD∥平面PBE，只要证明CD平行于平面PBE内的一条直线即可，在直角三角形BAE中，通过解直角三角形求出∠BEA的大小，然后利用同位角相等直线平行得结论；
（Ⅲ）可以直接找二面角的平面角，根据侧面APD⊥底面ABCD，过C作AD的垂线，再过垂足作PD的垂线，连接垂足和C，则二面角的平面角得到，然后通过解直角三角形求解，也可以利用空间直角坐标系解决．
解答：
（Ⅰ）证明：
∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∵侧面APD⊥底面ABCD，∴AB⊥面APD．
∵PE?面APD，∴AB⊥PE．
（Ⅱ）证明：∵∠BAD=90°，AB=2
，AE=2，
∴∠AEB=60°．
∵∠ADC=60°，CD、BE共面，∴CD∥BE．
又CD?面PBE，BE?面PBE，
∴CD∥面PBE．
（Ⅲ）解：法一、
在面ABCD内作CF⊥AD，垂足为F，
∵侧面APD⊥底面ABCD，∴CF⊥面APD．
在面APD内作FG⊥PD，垂足为G，连结CG，则CG⊥PD，
∴∠CGF是二面角A-PD-C的平面角．
∴FC=8sin60°=4
，FD=8cos60°=4．
∵AP⊥PD，∴AP=2FG=6，于是FG=3．
∴tan∠CGF=
=
．∴∠CGF=arctan
为所求．
法二、
如图建立空间直角坐标系．
所以D（0，
，0），P（0，0，
），C（4
，
，0）
=(0，
，-
)，
=(4
，
，-
)
设平面PCD的一个法向量为
=(x，y，z)
由
，得
．
取x=
，得
=(
，3，
)．
平面APD的一个法向量为
=(1，0，0)
设所求二面角的大小为θ，
∵
•
=（
，3，
）•（1，0，0）=
，|
||
|=
=
，
∴cosθ=
=
．∴θ=arccos
．
∴所求二面角的大小为arccos
．
（Ⅰ）证明：∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∵侧面APD⊥底面ABCD，∴AB⊥面APD．
∵PE?面APD，∴AB⊥PE．
（Ⅱ）证明：∵∠BAD=90°，AB=2
| 3 |
∴∠AEB=60°．
∵∠ADC=60°，CD、BE共面，∴CD∥BE．
又CD?面PBE，BE?面PBE，
∴CD∥面PBE．
（Ⅲ）解：法一、
在面ABCD内作CF⊥AD，垂足为F，
∵侧面APD⊥底面ABCD，∴CF⊥面APD．
在面APD内作FG⊥PD，垂足为G，连结CG，则CG⊥PD，
∴∠CGF是二面角A-PD-C的平面角．
∴FC=8sin60°=4
| 3 |
∵AP⊥PD，∴AP=2FG=6，于是FG=3．
∴tan∠CGF=
| FC |
| FG |
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
法二、
如图建立空间直角坐标系．
所以D（0，
| 7 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| PD |
| 7 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
| PC |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
设平面PCD的一个法向量为
| m |
由
|
|
取x=
| 3 |
| m |
| 3 |
| 7 |
平面APD的一个法向量为
| n |
设所求二面角的大小为θ，
∵
| m |
| n |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| m |
| n |
| 3+9+7 |
| 19 |
∴cosθ=
| ||
|
| ||
| 19 |
| ||
| 19 |
∴所求二面角的大小为arccos
| ||
| 19 |
点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的性质，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角的常用方法，利用空间直角坐标系求解空间角能起到事半功倍的效果，此题是中档题．
练习册系列答案
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