Question

已知函数f（x）=e^x+tx（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当t=-e时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把t=-e代入函数解析式，求导后由导函数大于0求解x的取值范围，得到原函数的增区间，由导函数小于0，得到原函数的减区间；
（Ⅱ）把函数解析式代入f（x）＞0，分离变量t后得到t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立，利用导数求函数g（x）=-

ex

x

的最大值，则数t的取值范围可求．

解答：解：（Ⅰ）当t=-e时，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e．
由f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1；f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1．
∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；单调递减区间是（-∞，1）．  
（Ⅱ）依题意：对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，
即e^x+tx＞0恒成立，即t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立．
令g(x)=-

ex

x

，∴g′(x)=

(1-x)ex

x2

．
当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜2时，g'（x）＜0．
∴函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减．
所以函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=-e，即为在x∈（0，2]上的最大值．
∴实数t的取值范围是（-e，+∞）．       
所以对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立的实数t的取值范围是（-e，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的导函数在某一区间上大于0，原函数是增函数，导函数小于0，原函数是减函数，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分离变量法，是中档题．