Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=

1

2

n(n-1)，且a_n是b_n和1的等差中项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若Cn=

1

nan

(n≥2)，C1=b2，求

n

i=1

Ci；
（3）若f(n)=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)是否存在n∈N^*，使f（n+11）=2f（n）？说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用a_n与S_n的关系求出数列{a_n}的通项公式，然后利用a_n是b_n和1的等差中项，求出{b_n}的通项公式．
（2）求出数列{C_n}的通项公式，然后利用裂项法求和．
（3）先求出f（n）的表达式，然后通过等式f（n+11）=2f（n），求n．

解答：解：（1）因为Sn=

1

2

n(n-1)，a1=S1=0，
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n-1，n=1也成立，
所以a_n=n-1．
因为a_n是b_n和1的等差中项，所以b_n+1=2a_n，所以b_n=2a_n-1=2n-3…（3分）．
（2）因为Cn=

1

n(n-1)

(n≥2)，C1=b2=1，
所以

n

i=1

Ci=1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+1-

1

2

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

…（6分）
（3）当n=2k-1时，f（n+11）=2n+19，
2f（n）=2（n-1），f（n+11）=2f（11）
⇒2n+19=2n-2无解  …（9分）
当n=2k（k∈z）时f（n）=2n-3，f（n+1）=n+10，f（n+11）=2f（n），
所以n+10=4n-6，此时无整数解，
故这样的值不存在．              …（12分）

点评：本题主要考查数列的通项公式以及利用裂项法求和．考查学生的运算能力