Question

函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.

(1)求证:f(x)是R上的增函数;

(2)若f(4)=5,解不等式f(3m²-m-2)<3.

Answer 1

(1)证明:设x₁、x₂∈R,且x₁<x₂,则x₂-x₁>0,

∴f(x₂-x₁)>1,

f(x₂)-f(x₁)=f［(x₂-x₁)+x₁］-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂-x₁)-1>0.

∴f(x₁)<f(x₂),即f(x)是R上的增函数.

(2)解:f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,

∴f(2)=3.∴不等式即为f(3m²-m-2)<f(2).

∵f(x)是R上的增函数,

∴3m²-m-2<2-1<m<.