Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F分别是线段PA、CD的中点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求A点到平面BEF的距离．

Answer 1

分析：（1）由ABCD为正方形，∠PAD=90°，知∠PAB是平面PAD和平面ABCD所成的二面角的平面角，由平面PAD⊥平面ABCD，知∠PAB=90°，由此能够证明PA⊥平面ABCD．
（2）以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出A点到平面BEF的距离．

解答：解：（1）∵ABCD为正方形，∠PAD=90°，
∴AP⊥AD，AB⊥AD，
∴∠PAB是平面PAD和平面ABCD所成的二面角的平面角，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴∠PAB=90°，
又∵PAD=90°，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（2）以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵ABCD为正方形，PA=AD=2，E、F分别是线段PA、CD的中点，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，0，1），F（1，2，0），
∴

EF

=（1，2，-1），

EB

=（2，0，-1），
设平面BEF的法向量

n

=(x，y，z)，则

n

•

EF

=0，

n

•

EB

=0，
∴

x+2y-z=0 2x-z=0

，解得

n

=(2，1，4)，
∵

AE

=(0，0，1)，
∴A点到平面BEF的距离d=

| AE • n |

| n |

=

4

21

=

4 21

21

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．