Question

y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－x²，

(1)求x＜0时，f(x)的解析式；

(2)问是否存在这样的正数a、b，当x∈[a，b]时，g(x)＝f(x)，且g(x)的值域为[]？若存在，求出所有的a、b值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设x＜0，则－x＞0，于是f(－x)＝－2x－x2，又f(x)为奇函数， 　　∴f(x)＝－f(－x)＝2x＋x2，即x＜0时，f(x)＝2x＋x2(x＜0)． 　　(2)分下述三种情况：①0＜a＜b≤1，那么＞1，而当x≥0，f(x)的最大值为1，故此时不可能使g(x)＝f(x)； 　　②若0＜a＜1＜b，此时若g(x)＝f(x)，则g(x)的最大值为g(1)＝f(1)＝1，得a＝1，这与0＜a＜1＜b矛盾； 　　③若1≤a＜b，∵x≥1时，f(x)是减函数，则f(x)＝2x－x2，于是有 　　考虑到1≤a＜b，解得a＝1，b＝， 　　综上所述存在满足题意．