Question

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax²+1，
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)设a＜-1，如果对任意x₁，x₂∈(0，+∞)，|f(x₁)-f(x₂)|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0，+∞)，，
当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，+∞)单调增加；
当a≤-1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，+∞)单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′(x)=0，解得，
则当x∈时，f′(x)＞0；x∈时，f′(x)＜0，
故f(x)在单调增加，在单调减少．
(Ⅱ)不妨假设x₁≥x₂，而a＜-1，
由(Ⅰ)知f(x)在(0，+∞)单调减少，从而，
等价于，①
令g(x)=f(x)+4x，则，
①等价于g(x)在(0，+∞)单调减少，即，
从而；
故a的取值范围为（-∞，-2]。