Question

【题目】已知三棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，，为上一点，且平面.

（1）求证：；

（2）过作一平面分别交， ， 于，，，若四边形为平行四边形，求多面体的表面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）

【解析】

（1）由线面垂直的判定定理，证得平面，再利用性质定理，即可证得，

（2）由线面垂直的判定定理和性质定理，得到，在中，求得，进而得到，即，再利用线面平行的性质定理得到，进而得到四边形为矩形，同理求得，结合面积公式，即可求解.

（1）由，所以，

由平面，平面，可得，

又由，且平面，平面，所以平面，

又因为平面,所以.

（2）在等腰直角中，，所以，

又因为，可得平面，所以.

等腰中，由，可得，

又中，，，所以，

而，可得，故，

因为四边形为平行四边形，所以，可得平面，

又平面，且平面平面，所以，

由，可得，且有，

由平面，可得，

进而得到，所以四边形为矩形，

同理可得，且，

可得，，

，.

所以所求表面积为.