Question

（1）已知{a_n}是公差为-2的等差数列，a₇是a₃与a₉的等比中项，求该数列前10项和S₁₀；
（2）若数列{b_n}满足b₁=

2

3

，b_n+1=

2bn

3bn+2

，试求b₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的首项为a₁，由a₇是a₃与a₉的等比中项得

a

2 7

=a3•a9，可得关于a₁的方程，解出a₁，由等差数列求和公式可求得S₁₀；
（2）两边取倒数可得数列递推式，由递推式可判断{

1

bn

}是等差数列，从而可求得

1

bn

，进而得b_n，从而可得答案．

解答：解：（1）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则d=-2．
根据题意，可知道

a

2 7

=a3•a9，即(a1+6d)2=(a1+2d)(a1+8d)，
解得a₁=20，
∴S₁₀=10a1+

10(10-1)

2

d=10•20+45•（-2）=110；
（2）由bn+1=

2bn

3bn+2

，两边取倒数并整理可得

3

2

=

1

bn+1

-

1

bn

，
∴数列{

1

bn

}是首项为

1

b1

=

3

2

，公差为

3

2

的等差数列．
∴

1

bn

=

3

2

+(n-1)•

3

2

=

3n

2

，∴bn=

2

3n

，
∴b2013=

2

3•2013

=

2

6039

．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、等差数列的通项公式及前n项和，属中档题．