Question

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为

x=- 3 t y=1+t

(t为参数，t∈R)．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．

Answer 1

分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，将极坐标方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3化成直角坐标方程，再消去参数t将直线l的参数方程化成普通方程，最后利用设点M的坐标的参数形式，结合点到直线的距离公式求解即得．

解答：解：曲线C的普通方程是

x2

3

+y2=1．（2分）
直线l的普通方程是x+

3

y-

3

=0．（4分）
设点M的坐标是(

3

cosθ，sinθ)，则点M到直线l的距离是d=

| 3 cosθ+ 3 sinθ- 3 |

2

=

3 | 2 sin(θ+ π 4 )-1|

2

．（6分）
因为-

2

≤

2

sin(θ+

π

4

)≤

2

，所以
当sin(θ+

π

4

)=-1，即θ+

π

4

=2kπ-

π

2

(k∈Z)，即θ=2kπ-

3π

4

(k∈Z)时，
d取得最大值．（8分）
此时

3

cosθ=-

6

2

，sinθ=-

2

2

．
综上，点M的坐标为(-

6

2

，-

2

2

)时，距离最大．(10分)

点评：本题考查点的极坐标、参数方程和直角坐标的互化、点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，属于中档题．