题目内容

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n∈N*）且a₁=9，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-n-6|＜ $数学公式$ 的最小整数n是

A.
5
B.
6
C.
7
D.
8

C
分析：首先分析题目已知3a_n+1+a_n=4（n∈N*）且a₁=9，其前n项和为S_n，求满足不等式|S_n-n-6|＜ $\text{[math]}$ 的最小整数n．故可以考虑把等式3a_n+1+a_n=4变形得到 $\text{[math]}$ ，然后根据数列b_n=a_n-1为等比数列，求出S_n代入绝对值不等式求解即可得到答案．
解答：对3a_n+1+a_n=4 变形得：3（a_n+1-1）=-（a_n-1）
即： $\text{[math]}$
故可以分析得到数列b_n=a_n-1为首项为8公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
所以b_n=a_n-1=8× $\text{[math]}$
a_n=8× $\text{[math]}$ +1=b_n+1
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
|S_n-n-6|= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
解得最小的正整数n=7
故答案为C．
点评：此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a_n-1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．