Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，对于任意的n≥2，恒有S_n=2S_n-1+n，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）若cn=

1

an+1-n-1

，证明：c1+c2+…+cn＜

23

12

•．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列的通项；
（2）确定c_n的表达式，利用二项式定理进行放缩，再用裂项法求和，即可证得结论；也可以利用数学归纳法证明当n≥2时，总有2ⁿ≥n+2，从而可得结论．

解答：（1）解：当n≥2时，S_n=2S_n-1+n，又S_n+1=2S_n+n+1，
两式相减得：a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=1，S₂=2S₁+2，得a₂=3，满足a₂+1=2（a₁+1），
∴数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴an+1=2•2n-1=2n，∴an=2n-1，n∈N*．
（2）证明：由（1）可知∴an=2n-1，n∈N*，∴an+1=2n+1-1
由cn=

1

an+1-n-1

=

1

2n+1-n-2

因为2n+1-n-2=(1+1)n+1-n-2=

C

0 n+1

+

C

1 n+1

+

C

2 n+1

+…

C

n+1 n+1

-n-2≥

C

0 n+1

+

C

1 n+1

+

C

2 n+1

-n-2=

(n+1)n

2

故cn=

1

2n+1-n-2

≤

1

n(n+1) 2

=

2

n

-

2

n+1

，
由c1=1＜

23

12

；c1+c2=1+

1

4

=

5

4

＜

23

12

当n≥3时，c1+c2+…+cn=1+

1

4

+2(

1

3

-

1

4

)+2(

1

4

-

1

5

)+…2(

1

n

-

1

n+1

)=

5

4

+2(

1

3

-

1

n+1

)＜

5

4

+

2

3

=

23

12

则不等式成立．
另解：cn=

1

an+1-n-1

=

1

2n+1-n-2

2ⁿ⁺¹-n-2=2ⁿ+（2ⁿ-n-2），当n≥2时，总有2ⁿ≥n+2（用数学归纳法证明，略）
当n=1，c₁=1＜2
则n≥2时，cn=

1

2n+1-n-2

=

1

2n+(2n-n-2)

≤

1

2n

故c1+c2+…+cn≤

1

1

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…(

1

2

)n=1+

1 4 (1-( 1 2 )n-1)

1- 1 2

=1+

1

2

-(

1

2

)n＜

3

2

＜

23

12

则不等式成立．

点评：本题考查数列的通项，考查等比数列的证明，考查数列与不等式的综合，考查裂项法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．