Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+x+b（a≥0）为函数f（x）的导函数．
（1）若f（x）在x=-3处取到极大值-2，求a，b的值；
（2）若函数g（x）=e^-ax•f′（x），求函数g（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据题意得到：f′（x）=x²+ax+1，结合f（x）在x=-3处取到极大值-2可得关于a与b的方程组，进而求出a与b的数值．
（2）由（1）可得：g′（x）=-x[ax+（a²-2）]e^-ax=-ax[x-（

2

a

-a）]e^-ax，结合解一元二次不等式的知识对a进行分类讨论，进而求出函数的得到区间．

解答：解：（1）因为f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+x+b（a≥0），
所以f′（x）=x²+ax+1．
因为f（x）在x=-3处取到极大值-2，
所以

f′(-3)=0 f(-3)=-2

，即

9-3a+1=0 -9+ 9 2 a-3+b=-2

，
解得a=

10

3

，b=-5．
（2）由（1）可得：f′（x）=x²+ax+1，
所以g（x）=e^-ax•f′（x）=

x2+ ax+1

eax

（x∈R），
所以g′（x）=-x[ax+（a²-2）]e^-ax=-ax[x-（

2

a

-a）]e^-ax．
①当a=0时，g′（x）=2x，
所以g（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）．
②当a＞0时，令g′（x）=0解得x=0或x=

2

a

-a．
（i）当

2

a

-a＞0时，即0＜a＜

2

时，
则g′（x）＞0的解集为(0，

2

a

-a)，g′（x）＜0的解集为（-∞，0），（

2

a

-a，+∞），
所以g（x）的单调递增区间为(0，

2

a

-a)，单调递减区间为（-∞，0），（

2

a

-a，+∞）．
（ii）当

2

a

-a=0，即a=

2

时，则g′（x）=-

2

x2e-

2

x≤0，
所以g（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
（iii）当

2

a

-a＜0，即a＞

2

时，
则g′（x）＞0的解集为(

2

a

-a，0)，g′（x）＜0的解集为（-∞，

2

a

-a），（0，+∞）．
所以g（x）的单调递增区间为(

2

a

-a，0)，单调递减区间为（-∞，

2

a

-a），（0，+∞）．
总上所述：
当a=0时，g（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）．
当0＜a＜

2

时，g（x）的单调递增区间为(0，

2

a

-a)，单调递减区间为（-∞，0），（

2

a

-a，+∞）．
当a=

2

时，g（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
当a＞

2

时，g（x）的单调递增区间为(

2

a

-a，0)，单调递减区间为（-∞，

2

a

-a），（0，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，以及考查含参数的一元二次不等式问题．