Question

【题目】如图，椭圆C： + =1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|= |BF|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知 ， 即 ，4a2+4b2=5a2 ， 4a2+4（a2﹣c2）=5a2 ， ∴ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2 ， ∴椭圆C： ．
设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0．
由 ，
即17x2+32x+16﹣4b2=0．
．
， ．
∵OP⊥OQ，∴ ，
即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．
从而 ，解得b=1，
∴椭圆C的方程为
【解析】（Ⅰ）利用|AB|= |BF|，求出a，c的关系，即可求椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0与椭圆C： 联立，OP⊥OQ，可得 ， 利用韦达定理，即可求出椭圆C的方程．