Question

在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知

3

2

sin2A=sinCcosB+sinBcosC，
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=1，cosB+cosC=

2 3

3

，求边c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由条件求得cosA的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值．
（Ⅱ）由cosB+cosC=

2 3

3

利用诱导公式求得sinC的值，再由正弦定理求得c的值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由

3

2

sin2A=sinCcosB+sinBcosC得 3sinAcosA=sin（B+C）=sinA．----（2分），
由于△ABC中，sinA＞0，∴3cosA=1，cosA=

1

3

，----------（4分）∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

．----（6分）
（Ⅱ）由cosB+cosC=

2 3

3

得 -cos(A+C)+cosC=

2 3

3

，--------（7分）
即sinAsinC-cosAcosC+cosC=

2 3

3

，∴

2 2

3

sinC+

2

3

cosC=

2 3

3

，-------（9分）
化简得

2

sinC+cosC=

3

，cosC=

3

-

2

sinC，平方得 sinC=

6

3

，--------（12分）
由正弦定理得c=

asinC

sinA

=

3

2

．------（14分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，以及正弦定理，属于中档题．