题目内容

已知数列{a_n}是等差数列，且满足：a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；数列{b_n}满足： $数学公式$ ，b₁=1．
（1）求a_n和b_n；
（2）记数列 $数学公式$ ，若{c_n}的前n项和为T_n，求证 $数学公式$ ．

解：（1）因为a₁+a₂+a₃=6，a₅=5，所以 $\text{[math]}$ ，
所以a_n=n；
又b_n-b_n-1=a_n-1=n-1，
$\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
（2）因为 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用公差与首项表示已知，可求a₁，d，进而可求a_n，由b_n-b_n-1=a_n-1=利用累加法可求b_n
（2）由 $\text{[math]}$ ，利用裂项可求T_n，可证
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及累加求解数列通项方法的应用，裂项求和是证明（2）的关键．

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定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列{a_n}是等积数列，且a₁=2，公积为5，则这个数列的前n项和S_n的计算公式为：

在一个数列中，如果?n∈N^*，都有a_n•a_n+1•a_n+2=k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a_n}是等积数列，且a₁=1，a₂=3，公积为27，则a₁+a₂+a₃+…+a₁₈=

定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一个项与它的后一项的积都为同一个常数，那末这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{a_n}是等积数列，且a₁=2，公积为5，T_n为数列{a_n}前n项的积，则T₂₀₁₁=

我们对数列作如下定义，如果?n∈N^*，都有a_na_n+1a_n+2=k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a_n}是等积数列，且a₁=1，a₂=2，公积为6，则a₁+a₂+a₃+…+a₉=

已知等差数列的定义为：在一个数列中，从第二项起，如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．
（1）类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义；
（2）已知数列{a_n}是等和数列，且a₁=2，公和为5，求 a₁₈的值，并猜出这个数列的通项公式（不要求证明）．