Question

已知两实数x，y满足

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

求：（1）z=3x-2y的最大值；
（2）z=x²+y²-10y+25的最小值．

Answer 1

分析：（1）画出约束条件表示的可行域，推出目标函数z=3x-2y经过的点，求出最大值．
（2）通过表达式的几何意义，判断最小值时的位置求出最值即可．

解答：解：（1）由约束条件

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

表示的可行域如图，
直线2x-y-5=0与直线 x+y-4=0的交点（3，1）作直线3x-2y=0的平行线l，
当l经过（3，1）时，z取得最大值，3×3-2×1=7．
（2）由于z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²，
z=x²+y²-10y+25的几何意义是点P（x，y）到点（0，5）的距离的平方，
所以z=x²+y²-10y+25的最小值为：原点到直线x-y+2=0的距离的平方：
d²=(

|-5+2|

2

)2，
即z=x²+y²-10y+25的最小值zmin=

9

2

．

点评：本题考查简单的线性规划的应用，表达式的几何意义是解题的关键，考查计算能力．