Question

已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A，φ是常数，A＞0，0＜φ＜π，x∈R）在x=

π

8

时取得最大值3．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若f(α+

π

8

)=-1，求sinα．

Answer 1

分析：（1）利用正弦函数的周期公式即可求得f（x）的最小正周期；
（2）依题意，可求得A与φ，从而可得f（x）的解析式；
（3）由f（α+

π

8

）=-1，可求得cos2α的值，继而可求得sinα．

解答：解：（1）∵f（x）=Asin（2x+φ），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π…（3分）
（2）依题意A=3…（5分），
3sin（2×

π

8

+φ）=3…（6分），因为

π

4

＜

π

4

+φ＜

5π

4

且sin（

π

4

+φ）=1…（7分），
所以

π

4

+φ=

π

2

，φ=

π

4

…（8分），
∴f（x）=3sin（2x+

π

4

）…（9分）
（3）由f（α+

π

8

）=-1得3sin（2α+

π

2

）=-1…（10分），
即cos2α=-

1

3

…（11分），
所以1-2sin²α=-

1

3

…（13分），
sinα=±

6

3

…（14分）．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的周期性及其求法，属于中档题．